Was für eine Woche.
Hier der Wa, heute mit Basteltipps,
Nach dem meine Lebenserwartung nicht gerade die beste ist, habe ich entschloßen jede Minute zu nutzen, und schnell den Wochenausklang über die Bühne zu bringen. Hier geht es ja schließlich um Leben und Tod.
Geistlose Geistige Reloadet.
Ist es nicht erstaunlich, erst am Dienstag habe ich über die neuen sieben Todsünden geschrieben und schon kurz darauf, sitzt ein Geistlicher wegen Sexuellen Missbrauchs eines Ministranten vor der Anklagebank. Wie soll man nach Grundsätzen Leben welche von Menschen gemacht wurden, welche sich selbst nicht einmal daran halten ? Meiner Meinung sind die neuen 7 Todsünden der Witz der Woche.
Social Networks.
Im allgemeinen bin ich ja kein Freund von diesen sogenannten Social Networks. Aber diese Woche bin ich auf ein Social Network mit dem Namen Last Fm.
Im allgemeinen finde ich diese Plattform recht Interessant. Aber leider gibt es auch hier dinge, welche mich Stören.
Kaum pingt ein Mail von last Fm auf, der mein Freund sein will, schon geht die Fragerei los. Ich kenne den oder die nicht. Beim besten Willen, ich kann mich an keinen erinnern, der Hyman heisst. Ich kenne einen guten Gitarristen mit Namen Hyttrek, aber vermutlich ist er das nicht. Und meine Vermutung lässt noch einen Namen in Sydney aufscheinen. Aber dann sitze ich da und habe das Gefühl: Das muss ein Fake sein.
Ich weiss laut Musikliste, dass das Freunderl vor allem so gegen 9.00 Uhr morgens ziemlich heftiges Zeug hört. Und dass er seit dem 18.7.2003 angemeldet ist. Ach ja: 1295 Titel hat er auch schon gehört. Die Trommelfelle will ich bei dem Sound nicht haben.
Und dann weiss ich noch, dass seine Freunde gowry oder Yokomono heissen und alle männlich sind. Alle sechs. Aber: Will ich das wissen, und will ich da Freund werden? Ich glaube nicht.
Warum muss ich heute eigentich beim Kauf jeder gottverdammten Tütensuppe gleich einem Network oder einer Community beitreten? Ich sag ja auch nicht, wen ich hier im Supermarkt schon kenne, nur weil vorne beim Thunfisch die olle Frau Meier vorbeiläuft. Mit der rede ich nicht über Fischdosen. Auch nicht über ihre verfetteten Dackel. Das tue ich auch online nicht. Aber dennoch hat Last Fm eine Wahnsinnige Anziehungskraft auf mich.
Ostern Steht vor der Tür.
Ihr alle kennt doch diese Tollen Ostereier mit den Vielen Bunten Farben und den schönen Verzierungen. Damit Ihr die auch nachmachen könnt, müsst Ihr euch einfach an die Folgenden simplen schritte meines Ratgebers halten.
Was sind das Oval und die Eilinie?
Es gibt keine eindeutige Definion. Man definiert meist:
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Ein Oval ist eine in sich geschlossene ebene Linie, die ellipsenförmig ist oder die Form eines Hühnereis hat.Eine Eilinie oder Eikurve ist der Umriss des Hühnereies. Das Hühnerei wird an einem Ende schmaler und hat nur eine Symmetrieachse. |
Die Kurven sind konvex, sind stückweise zweimal stetig differenzierbar ist und haben eine echt positive Krümmung.
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Man unterscheidet zwischen der Eilinie, der Eifigur (Ovoid) und dem Eikörper so wie man zwischen der Kreislinie, der Kreisfläche und der Kugel unterscheidet. |
Ellipse und ihre Abkömmlinge top
Ellipse
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1 und F2 eine konstante Summe haben, bilden eine Ellipse. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die Bestimmungsgleichung
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Die Parameter a und b sind die beiden Halbachsen, F1 und F2 die Brennpunkte.
Die Ellipse ist der Graph einer Relation.
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Die nebenstehende Ellipse hat die Gleichung
Die konstante Summe ist 2a=6. |
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Aus zwei Ellipsenhälften kann man ein Ei in der Form eines Hühnereies zusammensetzen. |
Gärtnerkonstruktion
Man kann ein Ei zeichnen, indem man um drei Punkte, die ein gleichschenkliges Dreieck bilden, nach der Gärtnermethode ein Seil (grün) schlingt, das etwas länger als der Umfang des Dreiecks ist, und bei gespannten Seil eine geschlossene Linie zeichnet (1). Es entstehen Ellipsenbögen, die zusammen ein Ei (2) bilden.In einer Computersimulation werden die drei Hauptellipsen (2) (schwarz, rot, blau) vollständig darstellt (nach Buch 9).Ist man genauer, so kommen im Bereich der Scheitelwinkel der Innenwinkel des Dreiecks ABC noch drei weitere Ellipsen hinzu (4). Das sind Ellipsen um die Seiten AB, AC und BC (3).
Superellipse top
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Ersetzt man in der Ellipsengleichung (x/a)²+(y/b)²=1 die Hochzahl 2 durch 2.5, so erhält man die Gleichung einer Superellipse. Sie heißt:
Die Betragsstriche stellen sicher, dass die nun auftretenden Wurzeln definiert sind. |
Der dänische Schriftsteller und Erfinder Piet Hein hat sich ausgiebig mit der Superellipse beschäftigt (Buch 4). Eine Besonderheit besteht darin, dass der dazugehörige Rotationskörper, als Holzkörper ausgeführt, auf einer Spitze stehen kann. Im Gegensatz zum Ei des Kolumbus braucht man keine Gewalt.Die Superellipse gehört zu den Lamékurven. Sie haben die Parametergleichung
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In der Darstellung einiger Lamékurven setzt man a=3, b=2 und für n die Zahlen 1(Parallelogramm, blau), 1.5(grün), 2(Ellipse, hellrot), 2.5 (Superellipse, rot) und 3 (schwarz) ein. |
Von der Ellipse zur Hühnerei-Form
Man kann eine Hühnereiform aus einem Oval erzeugen, indem man die Ovalgleichung leicht abändert. Man multipliziert y oder y² mit einem Term t(x), so dass bei der Eilinie die y-Werte rechts der y-Achse kleiner und links größer werden und der y-Achsenabschnitt bleibt.
Auf diese Weise wird z.B. die Ellipsengleichung x²/9+y²/4=1 zu x²/9+y²/4*t(x)=1. Man multipliziert also hier y² mit t(x).
Drei Beispiele:
Zur roten Eilinie:
Die Ellipse ist schwarz. Die Eilinie ist rot. Rechts der y-Achse liegt die Eilinie unter der Ellipse. Der Term t1(x) ist dort größer als 1. Durch die Multiplikation von y²/4 wird die Zahl 4 (=b²) kleiner. Die Kurve gehört also zu „Ellipsen“ mit kleinerer Halbachse, sie ist also flacher als die gegebene Ellipse. Entsprechend erklärt man, warum links der y-Achse die rote Kurve oberhalb der Ellipse liegt. (Man multipliziert mit einer Zahl kleiner als 1…)
Zur blauen und grünen Eilinien: Die drei farbigen Eilinien haben etwa die gleiche gewünschte Form, obwohl die Gleichungen auf den ersten Blick sehr verschieden sind.
Aber:
t2(x)=1/(1-0,2x) kann als geometrische Reihe geschrieben werden.
Allgemein ist 1/(1-q) = 1+q+q²+…, hier ist 1/(1-0,2x) = 1+0,2x+0,04x²+…t3(x)=exp(0.2x) kann als Taylorreihe entwickelt werden.
Allgemeien ist f(x) = f(0)+x*f’(0)+x²*f“(0)+…, hier ist exp(0.2x) = 1+0,2x+0,02x²+…
Zum Vergleich ist t1(x)=1+0,2*x+0*x²
Die drei Terme t1, t2 und t3 unterscheiden sich in der Reihenentwicklung erst im quadratischen Glied.
| Man kann ablesen: t1(x) < t3(x) < t2(x)Zeichnet man die drei zugehörigen Eilinien in ein Koordinatensystem, so liegt die rote Eilinie außen, die grüne in der Mitte und die blaue innen.
Warum liegt die blaue Eilinie innerhalb der roten? |
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Vom Ei zum Dreieck
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Setzt man in die Gleichnung x²/9+y²/4*t(x)=1 den Term t(x)=(1+kx)/(1-kx) so ergibt sich die nebenstehende Kurvenschar für verschiedene Zahlen k. schwarz: k=0,1 rot: k=0,2 grün: k=0,3 blau k=1/3. Aus dem schwarzen Ei wird also ein blaues Dreieck. Das schwarze Ei ist von der Art t1(x), t2(x) oder t3(x) oben., denn die Reihenentwicklung (1+0,1x)/(1-0,1x)=1+0.2x+0.02x²+… zeigt in den ersten Gliedern Übereinstimmung. Es ergibt sich ein Dreieck, wenn k=1/3 ist. 3 ist die große Halbachse. Begründung: Die Gleichungen x²/a²+y²/b²*(1+x/a)/(1-x/a)=1 und (x/a+y/b-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 sind gleichwertig, denn multipliziert man beide aus, ergibt sich -b²x³+ab²x²+a²b²x+a²xy²+a³y²-a³b²=0. |
Mit (x/a+y/a-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 werden die drei Geraden beschrieben, die das Dreieck bilden.
Eine Zuschrift
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Don M. Jacobs, M.D., aus Daly City, USA, entwickelte eine schöne Eiform, indem er die Kreisgleichung x²+y²=1 leicht abänderte: x² + [1,4^x*1.6y]² = 1.Die Ei-Gleichung ist eine Exponentialgleichung vom Typ t3 oben, wie eine Umrechnung zeigt:
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Inversion einer Ellipse am Kreis
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Spiegelt man eine Ellipse an einer Geraden (links), so entsteht als Bild eine kongruente Ellipse.Spiegelt man sie an einer Kreislinie (rechts), so entsteht eine Eilinie. |  |
Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der komplexen Ebene in sich durch reziproke Radien oder eine Spiegelung (=Inversion) an einem Kreis mit dem Radius R. Mittelpunkt der Spiegelung ist der Nullpunkt (0|0). Die Funktionsgleichung heißt z’=R²/z.
Weitere Ortslinien top
Cassinische Kurven
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1 und F2 ein konstantes Produkt haben, bilden die Cassinische Kurve. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die Gleichung
(x²+y²)² – 2e² (x²-y²) – (a²)² + (e²)²=0. Dabei ist 2e die Entfernung der beiden festen Punkte, a² ist das konstante Produkt.
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Die nebenstehende Kurve hat die Gleichung (x²+y²)² – 72(x²-y²) – 2800 = 0.Es sind e=6 und a=8. |
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Die nebenstehenden Cassinischen Kurven sind dadurch entstanden, dass man e=6 festhält und für a die Werte 10 (blau), 8.5 (grau), 7 ( rot), 6 (schwarz) und 4 (grün) einsetzt. |
Allgemein gilt:
Ist a>[e mal Wurzel2], so ergibt sich ein eiförmige Figur.
Ist a=[e mal Wurzel2], so ergibt sich auch eine eiförmige Figur, allerdings ist die Krümmung auf der Vertikalachse gleich 0.
Ist e<a<[e mal Wurzel2], so ergibt sich eine eiförmige Figur mit einer Einschnürung.
Ist a=e, so ergibt sich eine Lemniskate.
Ist a<e, so ergeben sich zwei ovale Figuren.
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Die inneren ovalen Figuren mit a<e nehmen eine interessante Eiform an, wenn a der Zahl e=6 nahekommt. |
So nun habt Ihr viele Flächen die Ihr nach euren Wünschen bemalen könnt, ein netter Zeitvertreib nicht wahr ?
Raserei für Anfänger.
Vor einiger Zeit habe ich mal erwähnt, das ich wegen zu schnellen Fahrens geblitzt wurde. Heute wurde mir meine Strafe bekanntgeben. Binnen einer Woche habe ich einen Betrag von Euro 15 an die Stadtkasse Memmingen zu überweisen. Falls es jemanden Interessiert, ich war 8 Km/h zu schnell.
So das war der Wa für diese Woche, viel Spaß beim Basteln. Frohe Ostern.
